Lisaülesanded
5.6. Lisaülesanded¶
Kui süsteemi Hamiltoni operaator \(\hat{H}\) ei sõltu ilmutatud kujul ajast, siis Liouville’i-von Neumanni võrrandi lahendiks on \(\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{+}(t)\), kus \(\hat{U}(t)=\mathrm{exp}\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)\). Kontrollige, et operaator \(\hat{U}\) on unitaarne.
Eeldatakse, et süsteemi Hamiltoni operaator \(\hat{H}=\hat{H}_{t}\) sõltub ilmutatud kujul ajast. Kontrollige, et sellisel juhul Liouville’i-von Neumanni võrrand on rahuldatud, kui \(\hat{\rho}(t)=\hat{D}(t)\hat{\rho}(0)\hat{D}^{+}(t)\), kus \(\hat{D}\) on unitaarne operaator, mis rahuldab võrrandit \(i\hbar \frac{\partial \hat{D}(t)}{\partial t}=\hat{H}_{t}\hat{D}(t)\).
Kontrollige, et Liouville’i-von Neumanni võrrand on rahuldatud, kui süsteem on termodünaamilises tasakaalus, mida kirjeldab statistiline operaator \(\hat{\rho}^{0}=Z^{-1}\mathrm{exp}\left(-\frac{\hat{H}}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\).
Näidake, et kui operaatorid \(\hat{\dot{b}}(t)\) ja \(\hat{b}(t)\) on Heisenbergi esituses, siis \(\hat{\dot{b}}(t)=\frac{\mathrm{d} \hat{b}(t)}{\mathrm{d} t}\). Operaatorid ei sõltu siin ajast ilmutatud kujul.
Näidake, et reaktsioonifunktsioon \(\Phi_{AB}(t) = - \, \left(i\hbar\right)^{-1}\left\langle\left[\hat{A},\hat{B}(t)\right]\right\rangle^{0}\) on reaalne suurus, kui operaatorid \(\hat{A}\) ja \(\hat{B}\) on hermiitilised.
Näpinäide. Kvantmehaanika matemaatilisest aparatuurist on teada, et kehtib \(\left[\hat{A}_{1},\hat{A}_{2}\right]=i\hat{A}_{3}\), kus \(\hat{A}_{1,2,3}\) on hermiitilised operaatorid. Tasakaaluliseks statistiliseks ansambliks võime võtta kanoonilise ansambli.Näidake, et rektsioonifunktsiooni reaalsusest järeldub üldistatud vastuvõtlikkuse \(\chi _{AB}(\omega) = \int \limits_{0}^{\infty}\, \Phi_{AB}(\tau) \mathrm{e}^{i\omega \tau} \mathrm{d} \tau\) jaoks, et \(\chi^{\ast} _{AB}(\omega) = \chi _{AB}(-\omega)\).
Näidake, et üldistatud vastuvõtlikkuse reaal- ja imaginaarosade jaoks kehtivad võrdused
\[\chi' _{AB}(-\omega) = \chi' _{AB}(\omega),\qquad \chi'' _{AB}(-\omega) = - \, \chi'' _{AB}(\omega) .\]Näidake, et kui arvestada häirituse adiabaatilist sisselülitumist, siis saab üldistatud vastuvõtlikkuse avaldis \(\chi _{AB}(\omega) = \int \limits_{0}^{\infty}\, \Phi_{AB}(\tau) e^{i \omega \tau} \mathrm{d} \tau\) kuju \(\chi _{AB}(\omega) = \lim _{\eta\rightarrow 0+} \, \int \limits_{0}^{\infty}\, \Phi_{AB}(\tau) e^{i(\omega+i \eta) \tau} \mathrm{d} \tau\).
Näidake, et Kubo valem üldistatud vastuvõtlikkuse jaoks
\[\chi_{AB}(\omega) = - \int \limits _{0}^{\infty}\mathrm{d}\tau \, \mathrm{e}^{i\omega \tau}\int \limits _{0}^{1/k_{\mathrm{B}}T}\mathrm{d}\lambda \left\langle\frac{\mathrm{d}\hat{A}(\xi)}{\mathrm{d}\xi} \, \hat{B}(\tau)\right\rangle ^{0} \, ; \,\,\,\,\,\, \xi = -i\hbar\lambda \,\]saab kõrgete temperatuurude piirjuhul kuju
\[\chi _{AB}(\omega) =-(k_{\mathrm{B}}T)^{-1} \int \limits_{0}^{\infty}\mathrm{d}\tau\,\mathrm{e}^{i\omega \tau}\biggl<\frac{\mathrm{d}\hat{A}(\xi)}{\mathrm{d}\xi}\biggl|_{\xi=0} \hat{B}(\tau)\biggr>^{0} .\]Näpunäide. üldistatud vastuvõtlikkus tuleks arendada Taylori ritta \(1/k_{\mathrm{B}}T\) astmete järgi punkti \(1/k_{\mathrm{B}}T=0\) ümbruses, võttes arvesse ainult esimest parandust.
Näidake, et komplekssest sagedusest sõltuv üldistatud vastuvõtlikkus \(\chi _{AB}(\omega) = \int \limits_{0}^{\infty}\, \Phi_{AB}(\tau) \mathrm{e}^{i \tau \mathrm{Re} \, \omega - \tau \mathrm{Im} \, \omega } \mathrm{d} \tau\) rahuldab Cauchy-Riemanni tingimusi (Cauchy-Riemanni võrrandeid).
Märkus 1. Reaktsioonifunktsioon on loomulikult reaalne suurus.
Märkus 2. Palun vaadake ise mõnest kompleksmuutuja funktsioonide raamatust järele, kuidas näevad välja Cauchy-Riemanni tingimused (Cauchy-Riemanni võrrandid).
Märkus 3. Cauchy-Riemanni tingimuste rahuldatus on tarvilik tingimus selleks, et üldistatud vastuvõtlikkust oleks analüütiline funktsioon sageduse ülemisele komplekspooltasandile. Sel juhul kehtib Cauchy integraalvalem, mida me kasutasime Kramersi-Kronigi dispersiooniseoste tuletamisel.Kontrollige, et operaator \(\hat{b}_{t}(t)=\hat{U}^{+}(t)\hat{b}_{t}\hat{U}(t)\) rahuldab võrrandit
\[\frac{\mathrm{d}\hat{b}_{t}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{i\hbar}\left[\hat{b}_{t}(t),\hat{H}\right]+\hat{U}^{+}(t)\frac{\partial \hat{b}_{t}}{\partial t}\hat{U}(t),\]kus \(\hat{U}(t)=\exp \left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t \right)\).
Kontrollige, et operaator \(\hat{b}_{t}(t)=\hat{D}^{+}(t)\hat{b}_{t}\hat{D}(t)\) rahuldab võrrandit
\[\frac{\mathrm{d}\hat{b}_{t}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{i\hbar}\left[\hat{b}_{t}(t),\hat{H}_{t}(t)\right]+\hat{D}^{+}(t)\frac{\partial \hat{b}_{t}}{\partial t}\hat{D}(t) ,\]kus unitaarne operaator \(\hat{D}(t)\) rahuldab võrrandit \(i\hbar \frac{\partial \hat{D}(t)}{\partial t} = \hat{H}_{t}\hat{D}(t)\) .
Leidke võrdusest \(\chi _{AB}(\omega)=\frac{1}{i\pi} \, \mathrm{P} \int \limits_{-\infty} ^{\infty} d\omega' \, \frac{\chi _{AB}(\omega')}{\omega' - \omega}\) Kramersi-Kronigi dispersiooniseosed
\[\chi' _{AB}(\omega)=\frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int \limits_{-\infty} ^{\infty} d\omega' \frac{\chi'' _{AB}(\omega')}{\omega' - \omega},\qquad \chi'' _{AB}(\omega)=-\frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int \limits_{-\infty} ^{\infty} d\omega' \frac{\chi' _{AB}(\omega')}{\omega' - \omega}.\]Teisendage Kramersi-Kronigi dispersiooniseosed
\[\chi' _{AB}(\omega)=\frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int \limits_{-\infty} ^{\infty} d\omega' \frac{\chi'' _{AB}(\omega')}{\omega' - \omega},\qquad \chi'' _{AB}(\omega)=-\frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int \limits_{-\infty} ^{\infty} d\omega' \frac{\chi' _{AB}(\omega')}{\omega' - \omega}\]alternatiivsele kujule
\[\chi' _{AB}(\omega)=\frac{2}{\pi} \mathrm{P} \int \limits_{0} ^{\infty} d\omega' \frac{\omega'\chi'' _{AB}(\omega')}{\omega'^{2} - \omega^{2}},\qquad \chi'' _{AB}(\omega)=-\frac{2\omega}{\pi} \mathrm{P} \int \limits_{0} ^{\infty} d\omega' \frac{\chi' _{AB}(\omega')}{\omega'^{2} - \omega^{2}}.\]