Contents

Seos statistika ja termodünaamika vahel

2.2. Seos statistika ja termodünaamika vahel

2.2.1. Kanooniline ansambel ja termodünaamilised potentsiaalid

Tõenäosus, et süsteem oleks kvantolekus number \(n\) on määratud tihedusmaatriksi elemendiga

\[W_{n}=\rho_{nn}=Z^{-1}\mathrm{exp}\left(-\frac{E_{n}}{k_{\mathrm{B}}T}\right),\qquad Z=\sum_{n}\mathrm{exp}\left(-\frac{E_{n}}{k_{\mathrm{B}}T}\right).\]

Kasutades definitsiooni (2.2) saame avaldada siseenergia ja entroopia

\[U=\sum_{n}W_{n}E_{n},\qquad S=-k_{\mathrm{B}}\sum_{n}W_{n}\mathrm{ln}W_{n} = k_{\mathrm{B}}\mathrm{ln}Z + \frac{U}{T},\]

vastavalt.

Helmholtzi vabaenergia \(F=U-TS\) jaoks saame

\[F= -k_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}Z.\]

Valem osutab otseselt seosele statistika (statistilise summa \(Z\) näol) ja termodünaamika (termodünaamilise potentsiaali \(F\) näol) vahel.

Ülesanne

  • Kirjeldame süsteemi kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi siseenergia avaldub kujul \(U=\sum_{n}W_{n}E_{n}\).

  • Kirjeldame süsteemi kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi Helmholtzi vabaenergia avaldub kujul \(F=-k_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}Z\).

2.2.2. Suur kanooniline ansambel ja termodünaamilised potentsiaalid

Tõenäosus, et süsteem sisaldaks \(N\) osakest ja oleks kvantolekus number \(n\) on antud avaldisega

\[W_{n}(N)=\rho_{nn}(N)=\Xi^{-1}\mathrm{exp}\left(-\frac{E_{n}(N)-\mu N}{k_{\mathrm{B}}T}\right),\quad \Xi=\sum_{N}\sum_{n}\mathrm{exp}\left(-\frac{E_{n}(N)-\mu N}{k_{\mathrm{B}}T}\right).\]

Analoogselt eelneva juhuga, saame kirjutada siseenergia ja entroopia kujul

\[U=\sum_{N}\sum_{n}W_{n}(N)E_{n}(N),\qquad S=-k_{\mathrm{B}}\sum_{N}\sum_{n}W_{n}(N)\mathrm{ln}W_{n}(N) = k_{\mathrm{B}}\mathrm{ln}\Xi + \frac{U}{T} - \frac{\mu \bar{N}}{T},\]

vastavalt. Siin on toodud sisse keskmine osakeste arv

\[\bar{N}=\sum_{N}\sum_{n}W_{n}(N)N.\]

Helmholtzi vabaenergia \(F=U-TS\) jaoks same

\[F =\mu \bar{N} - k_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}\Xi.\]

ja suur termodünaamiline potentsiaal \(\Omega=F-\mu \bar{N}\) avaldub

\[\Omega = - k_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}\Xi.\]

Viimane valem osutab otseselt termodünaamika ja statistika seosele.

Ülesanne

  • Kirjeldame süsteemi suure kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi entroopia avaldub kujul \(S=-k_{\mathrm{B}}\sum_{N}\sum_{n}W_{n}(N)\mathrm{ln}W_{n}(N) = k_{\mathrm{B}}\mathrm{ln}\Xi + \frac{U}{T} - \frac{\mu \bar{N}}{T}\).

  • Kirjeldame süsteemi suure kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi Helmholtzi vabaenergia avaldub kujul \(F=\mu\bar{N}-k_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}\Xi\).

previous

2.1. Statistilised ansamblid

next

2.3. Ideaalsed kvantgaasid