Contents

Liouville’i võrrandi lihtsustamine

4.2. Liouville’i võrrandi lihtsustamine

4.2.1. Bogoljubov-Born-Green-Kirkwood-Yvoni (BBGKY) võrrandid

Olgu meil \(N\) ühesugusest klassikalisest osakesest koosnev süsteem. Toome sisse vajalikud definitsioonid

  • Osakeste kohavektorid \(\mathbf{q}_1\ldots\mathbf{q}_N\)

  • Osakeste impulsid \(\mathbf{p}_1\ldots\mathbf{p}_N\)

  • Täielik jaotusfunktioon \(\rho=\rho(\mathbf{q}_1\ldots\mathbf{q}_N,\mathbf{p}_1\ldots\mathbf{p}_N,t)\)

Defineerime \(l\)-osakeselise taandatud jaotusfunktsiooni

\[f_{l}(\mathbf{q}_{1} \ldots \mathbf{q}_{l},\mathbf{p}_{1} \ldots \mathbf{p}_{l},t) = V^{l}\int \rho(\mathbf{q}_{1} \ldots \mathbf{q}_{N},\mathbf{p}_{1} \ldots \mathbf{p}_{N},t)\mathrm{d}\mathbf{q}_{l+1}\ldots \mathrm{d}\mathbf{q}_{N}\mathrm{d}\mathbf{p}_{l+1}\ldots \mathrm{d}\mathbf{q}_{N},\]

kus \(V\) on süsteemi ruumala ja kasutatud tähistus \(\mathrm{d}\mathbf{q}_{k}=\mathrm{d}q_{kx}\mathrm{d}q_{ky}\mathrm{d}q_{kz}\). Näeme, et \(f_{l}\) sõltub ainult \(l<N\) osakeste koordinaatidest ja impulsidest. Seega \(\frac{f_l}{V^l}\mathrm{d}\mathbf{q}_{1}\ldots \mathrm{d}\mathbf{q}_{l}\mathrm{d}\mathbf{p}_{1}\ldots \mathrm{d}\mathbf{q}_{l}\) on tõenäosus, et ajamomendil \(t\) asub \(l\) osakest koosnev alamsüsteem faasiruumalas \(\mathrm{d}\mathbf{q}_{1}\ldots \mathrm{d}\mathbf{q}_{l}\mathrm{d}\mathbf{p}_{1}\ldots \mathrm{d}\mathbf{q}_{l}\) faasipunkti \((\mathbf{q}_{1},\mathbf{p}_{1}\ldots\mathbf{q}_{l},\mathbf{p}_{l})\) ümbruses, ülejäänud osakesed võivad aga asuda suvalistes mikroolekutes.

Täielik jaotusfunktsioon rahuldab Liouville’i võrrandi (4.1). Selle võrrandi abil saab tuletada BBGKY võrrandeid, mida kirjeldavad taandatud jaotusfunktsioonide \(f_1(\mathbf{q}_{1},\mathbf{p}_{1},t)\), \(f_2(\mathbf{q}_{1},\mathbf{q}_2,\mathbf{p}_{1},\mathbf{p}_2,t)\) jne ajalist käitumist.

BBGKY võrrandete saamiseks kasutatud piirangud

  • Esitatakse süsteemi Hamiltoni funktsiooni \(\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q}_1\ldots\mathbf{q}_N,\mathbf{p}_1\ldots\mathbf{p}_N)\) ligikaudu üheosakeseliste liikmete ja kaheosakeseliste liikmete summana järgmiselt

    \[\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N\mathcal{H}_1(\mathbf{q}_i,\mathbf{p}_i)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\mathcal{H}_2(\mathbf{q}_i,\mathbf{q}_j).\]

    Siin teise liikme kordaja \(\frac{1}{2}\) arvestab seda, et liikme argumenti korratakse summas kaks korda.

  • Summa panused on järgmised

    \[\mathcal{H}_1(\mathbf{q}_i,\mathbf{p}_i)=\mathcal{H}_1^0(\mathbf{p}_i)+V^F(\mathbf{q}_i),\qquad \mathcal{H}_2(\mathbf{q}_i,\mathbf{q}_j)=V(\mathbf{q}_i,\mathbf{q}_j).\]

    Siin \(\mathcal{H}_1^0(\mathbf{p}_i)=\frac{\mathbf{p}_i^2}{2m}\) on üksiku vaba osakese Hamiltoni funktsioon (ehk selle kineeriline energia) ja \(V^F\) on osakese potentsiaalne energia välises väljas. Seoses välise väljaga mõjub osakesele jõud \(\mathbf{F}(\mathbf{q}_i)=\mathbf{F}_i=-\frac{\partial V^F}{\partial\mathbf{q}_i}\), kus on tähistatud \(\frac{\partial}{\partial\mathbf{q}}=\left(\frac{\partial}{\partial q_{x}},\frac{\partial}{\partial q_{y}},\frac{\partial}{\partial q_{z}}\right)\).

  • Lõpuks on \(V(\mathbf{q}_i,\mathbf{q}_j)=V(|\mathbf{q}_i-\mathbf{q}_j|)=V_{ij}\) on kahe osakese vaheline interaktsiooni potentsiaal. Pildil on tüüpilised potentsiaalid, mida tahkiseteoorias kasutatakse.

../_images/im42_1.svg

Kui võtta arvesse neid piiranguid, siis saab Liouville’i võrrandi integreerimise teel jõuda järgmiste BBGKY võrranditeni

(4.3)\[\begin{split}& \left[\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}_{1}\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_{1}}+\mathbf{F}_{1}\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_{1}}\right]f_{1}=\frac{N-1}{V}\int \mathrm{d}\mathbf{q}_{2}\mathrm{d}\mathbf{p}_{2}\frac{\partial V_{12}}{\partial \mathbf{q}_{1}}\frac{\partial f_{2}}{\partial \mathbf{p}_{1}}, \\ & \left[\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}_{1}\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_{1}}+\mathbf{v}_{2}\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_{2}}+\mathbf{F}_{1}\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_{1}}+\mathbf{F}_{2}\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_{2}}-\frac{\partial V_{12}}{\partial \mathbf{q}_{1}}\frac{\partial }{\partial \mathbf{p}_{1}}-\frac{\partial V_{12}}{\partial \mathbf{q}_{2}}\frac{\partial }{\partial \mathbf{p}_{2}}\right]f_{2} \\ &\quad =\frac{N-2}{V}\int \mathrm{d}\mathbf{q}_{3}\mathrm{d}\mathbf{p}_{3}\left[\frac{\partial V_{13}}{\partial \mathbf{q}_{1}}\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_{1}} + \frac{\partial V_{23}}{\partial \mathbf{q}_{2}}\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_{2}}\right]f_{3} , \\ & \ldots ,\end{split}\]

kus \(\mathbf{v}_{i}\) on osakese nr \(i\) kiirus. Esimene võrrand määrab ära üheosakelise taandatud jaotusfunktsiooni \(f_1\) käitumist, kuid selle võrrandi parem pool sisaldab kaheosakelist taandatud jaotusfunktsiooni \(f_2\). Teine võrrand määrab ära kaheosakelise taandatud jaotusfunktsiooni \(f_2\) käitumist, kuid selle võrrandi parem pool sisaldab juba kolmeosakelist taandatud jaotusfunktsiooni \(f_3\) jne. Räägitakse, et tekib siin diferentsiaal-integraalvõrrandite ahel. Ahela viimaseks võrrandiks on sisuliselt Liouville’i võrrand funktsiooni \(f_N\) jaoks. Seega on BBGKY võrrandsüsteemi lahendamine sama keeruline kui algse Liouville’i võrrandi lahendamine.

Teatud füüsikaliste tingimuste korral saab BBGKY ahela katkestada, näiteks aproksimeerida kaheosakeselise taandatud jaotusfunktsiooni üheosakeselise jaotusfunktsiooni kaudu. Sellisel juhul saab vältida Liouville’i võrrandi lahendamist.

4.2.2. Mittetasakaalulise süsteemi ajalise evolutsiooni etapid

Vaatleme süsteemi, mis koosneb hõredalt jaotunud osakestest (nagu gaas). Olgu alghetkel \(t_0\) on süsteemis tekitatud mittetasakaaluline seisund. Edasi relakseerub süsteem termodünaamilise tasakaalu seisundisse. Selle relaksatsiooniprotsessi käigus eristuvad kaks ajaskaalat

  • Olgu \(\tau_c\) osakestevahelise „põrke“ keskmine kestvus ehk keskmine aeg, mille jooksul kaks osakest oluliselt teineteist mõjutavad. “Põrke” all mõistame suvalist interaktsiooni.

  • Olgu \(\tau_0\) kahe järjestikuse „põrke“ vaheline keskmine aeg.

Piisavalt hõredas süsteemis need ajaskaalad eristuvad selgelt, \(\tau_0\gg\tau_c\). Tänu sellele, läheneb suurest arvust osakestest koosnev süsteem termodünaamilisele tasakaalule mitme küllalt hästi eristatava etapi kaudu, kusjuures aja jooksul väheneb sõltumatute parameetrite arv, mida on vaja süsteemi kirjeldamiseks. Need etapid on järgmised

  • Esialgse kaootilisuse etapp, kui alghetkest on möödunud vähe aega, \(t-t_0\sim \tau_c\). Sel etapil on toimunud terves süsteemis vähe osakestevahelisi põrkeid, misttõttu osakeste liikumisel säilib nende individuaalne iseloom. Süsteemi olek on olulusel määral määratud kõike osakeste asukohtadega ja impulsidega ja selle kirjeldamiseks on vajalik täielik jaotusfunktsioon, mis rahuldab Liouville’i võrrandit.

  • Kineetiline etapp, kui \(\tau_c\ll t-t_0<\tau_0\). Siin on toimunud süsteemis arvestatav hulk põrkeid. Iga osakese individuaalne iseloom on kadunud ja iga osakese olek iseloomustab teatud määral kogu süsteemi käitumist. Süsteemi kirjeldamiseks piisab üheosakeselisest jaotusfunktsioonist \(f_1(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\), mis rahuldan Boltzmanni kineetilist võrrandit.

  • Hüdrodünaamiline etapp, kui \(t-t_0\gg\tau_0\). Toimunud on juba suur arv põrkeid nii, et süsteem on lähedane lokaalsele tasakaalule. Selle tulemusena piisab süsteemi kirjeldamiseks üheosakeselise jaotusfunktsiooni abil leitud keskväärtustest, mis rahuldavad hüdrodünaamika võrrandeid.

previous

4.1. Liouville’i võrrand

next

4.3. Boltzmanni kineetiline võrrand ja selle järeldused