3.4. Termodünaamika teise printsiibi ruumiliselt lokaalne formuleering¶

Vaatleme süsteemi entroopia üldist muutust \(\mathrm{d}S=\mathrm{d}S_{e}+\mathrm{d}S_{i}\), kus \(\mathrm{d}S_{e}\) on entroopia muutuse panus seoses süsteemi ja keskkonna vaheliste protsessidega ning \(\mathrm{d}S_{i}\) on süsteemisisene entroopia kasv. Kuna isoleeritud süsteemi entroopia ei saa kahaneda, siis \(\mathrm{d}S_{i} \geq 0\).

Asugu meie süsteem mittetäieliku termodünaamilise tasakaalu seisundis. Kuidas toimub relakseerumine tasakaaluolekusse entroopi mõttes? Toome sisse uued tähistused

entroopia tihedus \(\mathcal{S}\) nii, et

\[S=\int\limits_{V}\mathcal{S}\mathrm{d}V,\]

kus \(V\) on süsteemi ruumala.

entroopia voo tihedus \(\mathbf{J}\) nii, et

\[\frac{\mathrm{d}S_{e}}{\mathrm{d}t}=-\oint\limits_{f}\mathbf{J}\mathrm{d}\mathbf{f},\]

kus \(f\) on ruumala \(V\) ümbritsev pind, \(\mathrm{d}\mathbf{f}=\mathbf{n}\mathrm{d}f\) ja \(\mathbf{n}\) on pinna \(f\) välisnormaali ühikvektor vaadeldavas pinnapunktis. Paneme tähele, kui entroopia voog on suunatud ruumalast \(V\) väljaspoole, siis pindintegraal on positiivne ja \(S_e\) väheneb ajaga.

süsteemisisese entroopia allika intensiivsus \(\sigma\) nii, et

\[\frac{\mathrm{d}S_{i}}{\mathrm{d}t}=\int\limits_{V}\sigma\mathrm{d}V.\]

Edasi kasutame Gauss-Ostrogradski teoreemi \(\oint_{f}\mathbf{J}\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_V \mathrm{div} \mathbf{J}\mathrm{d}V\) ja saame termodünaamika teise printsiibi lokaalset esitust

\[\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}=\sigma - \mathrm{div} \mathbf{J},\qquad \sigma \geq 0.\]

Esimene valem kujutab siin endast entroopiabilansi võrrandit või pidevuse võrrandi entroopia jaoks ja teine nõuab, et entroopiaallika intensiivsus oleks alati mittenegatiivne.

Statistilise füüsika magistrikursus

Termodünaamika teise printsiibi ruumiliselt lokaalne formuleering

3.4. Termodünaamika teise printsiibi ruumiliselt lokaalne formuleering¶