Operaatori sõltuvus ajast
Contents
5.2. Operaatori sõltuvus ajast¶
Räägime kahest esitusest kvantmehaanikas.
5.2.1. Schrödingeri esitus¶
Schrödingeri esituses kannab kogu informatsiooni süsteemi ajalisest arengust ajast sõltuv lainefunktsioon \(\Psi (t)\), mis rahuldab Schrödingeri võrrandit
Kui Hamiltoni operaator ei sõltu ilmutatud kujul ajast, siis
Operaatorid Schrödingeri esituses ajast ei sõltu, välja arvatud võimalik sõtuvus ajast ilmutatud kujul, mida tähistame \(\hat{b}=\hat{b}_{t}\).
5.2.2. Heisenbergi esitus¶
Heisenbergi esituses lainefunktsioon \(\Psi\) ajast ei sõltu. Selles esituses mõistakse lainefunktsiooni all \(\Psi (0)\) avaldises (5.2). Süsteemi ajalist arengut kirjeldavad ajast sõltuvad operaatorid \(\hat{b}_{t}(t)\).
Eeldame alguses, et Hamiltoni operaator ei sõltu ilmutatud kujul ajast. Leiame kvantmehaanilise keskväärtuse Schrödingeri esituses
\[\begin{split}&\int \Psi^\ast(t)\hat{b}_t\Psi(t)\mathrm{d}q= \int \left[\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\right]^\ast\Psi^\ast (0) \left[\hat{b}_t\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\Psi (0)\right]\mathrm{d}q= \int \left[\hat{b}_t\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\Psi (0)\right] \left[\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\right]^\ast\Psi^\ast (0) \mathrm{d}q=\\ &\int \Psi^\ast (0) \left[\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\right]^+ \left[\hat{b}_t\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\Psi (0)\right] \mathrm{d}q=\int \Psi^\ast (0) \mathrm{e}^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}^+t} \left[\hat{b}_t\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\Psi (0)\right] \mathrm{d}q=\\ &\int \Psi^\ast (0) \mathrm{e}^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}t} \left[\hat{b}_t\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\Psi (0)\right] \mathrm{d}q= \int \Psi^\ast (0) \hat{b}_t(t)\Psi (0)\mathrm{d}q,\end{split}\]kus kasutasime operaatori \(\hat{A}\) kaasoperaatori \(\hat{A}^+\) definitsiooni \(\int f\hat{A}^+g\mathrm{d}q=\int g\hat{A}^\ast f\mathrm{d}q\) ja Hamiltoni operaatori hermiitilisust \(\hat{H}^+=\hat{H}\). Siin oleme alustanud keskväärtusega Schrödingeri esituses, kus lainefunktsioonid ja operaatorid on võetud Schrödingeri esituses. Tulemuseks on aga teine keskväärtus, kus lainefunktsioon on võetud Heisenbergi esituses. Räägitakse, et tulemuseks on sama kvantmehaaniline keskväärtus aga juba Heisenbergi esituses ning tähistust
\[\hat{b}_{t}(t)=\hat{U}^{+}(t)\hat{b}_{t}\hat{U}(t),\qquad \hat{U}=\mathrm{exp}\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)\]tuleb mõista operaatoriks Heisenbergi esituses. Samuti ütleb seos, kuidas teiseneb operaator Schrödingeri esituses \(\hat{b}_t\) operaatoriks Heisenbergi esituses \(\hat{b}_t(t)\). Näeme ka, et antud juhul võrdub Hamiltoni operaatori Heisenbergi esitus Schrödingeri omaga.
Ülesanne
Näidake, et kui Hamiltoni operaatori sõltuvus ajast ilmutatud kujul puudub, siis Hamiltoni operaator Heisenbergi esituses langeb kokku Hamiltoni operaatoriga Schrödingeri esituses.
Vastav Heisenbergi esituses oleva operaatori liikumisvõrrand on kujuga
\[\frac{\mathrm{d}\hat{b}_{t}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{i\hbar}\left[\hat{b}_{t}(t),\hat{H}\right]+\hat{U}^{+}(t)\frac{\partial \hat{b}_{t}}{\partial t}\hat{U}(t) .\]Teine liige tekib juhul, kui Schrödingeri esituses oleval operatoril on olemas ajaline sõltuvus ilmutatud kujul.
Kui Hamiltoni operaator sõltub ilmutatud kujul ajast, siis teiseneb operaator Schrödingeri esituses operaatoriks Heisenbergi esituses unitaarteisenduse
\[\hat{b}_{t}(t)=\hat{D}^{+}(t)\hat{b}_{t}\hat{D}(t),\qquad \hat{D}^+\hat{D}=\hat{D}\hat{D}^+=1\]abil. Operaatori \(\hat{D}(t)\) liikumisvõrrandiks on
\[i\hbar \frac{\partial \hat{D}(t)}{\partial t} = \hat{H}_t\hat{D}(t),\]kus \(\hat{H}_t\) on Hamiltoni operaator Schrödingeri esituses. Paneme ka tähele, et antud juhul ei lange Hamiltoni operaatori Heisenbergi esitus Schrödingeri omaga kokku, kuna \(\hat{H}_{t}(t)=\hat{D}^{+}(t)\hat{H}_{t}\hat{D}(t)\).
Heisenbergi esituses oleva operaatori liikumisvõrrand on kujuga
\[\frac{\mathrm{d}\hat{b}_{t}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{i\hbar}\left[\hat{b}_{t}(t),\hat{H}_{t}(t)\right]+\hat{D}^{+}(t)\frac{\partial \hat{b}_{t}}{\partial t}\hat{D}(t),\]kus esimeses liikmes seisab Hamiltoni operaator Heisenbergi esituses ja teises liikmes operaator \(\hat{b}_t\) Shcrödingeri esituses.
5.2.3. Füüsikalise suuruse ajalise tuletise operaator¶
Olgu \(b\) süsteemi iseloomustav suurus. Suurusele \(\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t}\) pannakse vastavusse kvantmehaanikas keskväärtust \(\langle\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t} \rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle b\rangle\). Samal ajal vastab suurusele \(b\) operaator \(\hat{b}\). Eesmärgiks on siin leida operaatori \(\hat{\dot{b}}\), mis vastaks suurusele \(\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t}=\dot{b}\).
Olgu \(\hat{b},\hat{H}\) on vastavad operaatorid Schrödingeri esituses, mis ei sõltu ilmutatud kujul ajast. Siis
Esimest liiget teisendame kasutades kaasoperaatori definitsiooni ja Hamiltoni operaatori hermiitilisust \(\int (\hat{H}^\ast\Psi^\ast)\hat{b}\Psi\mathrm{d}q=\int (\hat{b}\Psi) \hat{H}^\ast\Psi^\ast\mathrm{d}q=\int \Psi^\ast \hat{H}^+\hat{b}\Psi\mathrm{d}q=\int \Psi^\ast \hat{H}\hat{b}\Psi\mathrm{d}q\). Tulemuseks on
See defineerib suuruse \(b\) ajalise tuletise operaatori.
Juhul, kui suurusele \(b\) vastav operaator sõltub ilmutatud kujul ajast, siis
Ülesanne
Näidake, et kui füüsikaline suurus \(b\) (ja siis loomulikult ka sellele vastav operaator \(\hat{b}\)) sõltub ajast ilmutatud kujul, siis selle suuruse ajalise tuletise operaator avaldub \(\hat{\dot{b}}_{t}=\frac{\partial \hat{b}_{t}}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar}\left[\hat{b}_{t},\hat{H}\right]\). Kõik operaatorid on siin Schrödingeri esituses.
Kui Hamiltoni operaator sõltub ilmutatud kujul ajast, siis tuleb valemites \(\hat{\dot{b}}\) või \(\hat{\dot{b}}_{t}\) jaoks teha asendus \(\hat{H}\rightarrow\hat{H}_{t}\).