Contents

Ideaalsed kvantgaasid

2.3. Ideaalsed kvantgaasid

Vaatleme \(N\) ühesugusest mitteintegreeruvast osakesest koosnevat süsteemi. Osakese energia kvantolekus number \(k\) on \(\varepsilon_{k}\) ja osakeste arv selles olekus \(n_{k}\). Süsteemi koguenergia on \(\sum_{k}\varepsilon_{k}n_{k}\) ja osakeste koguarv süsteemis \(\sum_{k}n_{k}=N\).

Süsteemi kvantolekuid saab eristada olekute täitearvude \(n_{1}, n_{2}, ...\) abil. Vastavalt sellele avaldub suur statistiline summa

\[\begin{split}\begin{align} &\Xi = \sum_{N}\sum_{\{n_{1},n_{2},...\}}\exp\left[-\frac{\sum\limits _{k}\left(\varepsilon_{k}-\mu\right)n_{k}}{k_{\mathrm{B}}T}\right]=\sum_{n_{1},n_{2},...}\prod_{k}\exp\left[-\frac{\left(\varepsilon_{k}-\mu\right)n_{k}}{k_{\mathrm{B}}T}\right]\\ &=\prod_{k} \sum_{n} \exp\left[-\frac{\left(\varepsilon_{k}-\mu\right)n}{k_{\mathrm{B}}T}\right] \equiv \prod_{k} \Xi_{k}, \end{align}\end{split}\]

kus esimeses avaldises \(\sum_{\{n_{1},n_{2},...\}}\) tähendab summeerimist üle täitearvude \(n_{k}\), kusjuures arvestatakse lisatingimusega \(\sum_{k}n_{k}=N\), st need summad ei ole sõltumatud.

Seega võrdub suur termodünaamiline potentsiaal

\[\Omega = - k_{\mathrm{B}}T\sum_{k}\mathrm{ln}\Xi_{k}.\]

Ülesanne

  • Olgu meil mitteinterakteeruvate osakeste süsteem. ühe osakese energiad kvantolekutes \(k=1, 2, \ldots \) on \(\varepsilon_{k}\) ja vastavad osakeste keskmised arvud \(\overline{n}_{k}\). Avaldage termodünaamilises tasakaalus oleva süsteemi siseenergia ja soojusmahtuvus suuruste \(\varepsilon_{k}\) ja \(\overline{n}_{k}\) kaudu.

  • Ühesugustest osakestest koosnevas ideaalses kvantgaasis on osakeste keskmine arv kvantolekus \(k\)

    \[\overline{n}_{k} =\left[\sum\limits_{n}\exp \left(-\frac{(\varepsilon_{k}-\mu)n}{k_{B}T}\right)\right]^{-1}\sum\limits_{n}n\exp \left(-\frac{(\varepsilon_{k}-\mu)n}{k_{B}T}\right).\]

    Tuletage see avaldis. Tuletage siit Fermi-Diraci jaotusfunktsioon ja Bose-Einsteini jaotusfunktsioon.

2.3.1. Fermi-Diraci statistika

Tegu on mitteinterakteeruvate fermionide süsteemiga, see tähendab, et kvantolekus energiaga \(\varepsilon_k\) saab olla kas \(0\) või \(1\) fermion, \(n_k=0,1\). Vastavalt sellele arvutame suurt statistilist summat

\[\Xi = \prod_{k} \left[1+\exp\left(-\frac{\varepsilon_{k}-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right]\]

ja suurt termodünaamilist potentsiaali

\[\Omega = -k_{\mathrm{B}}T\sum_{k} \mathrm{ln} \left[1+\exp\left(-\frac{\varepsilon_{k}-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right].\]

Keskmine osakeste arv on \(\bar{N}=-\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_{T,V}\equiv\sum_k \bar{n}_k\), kus keskmist osakeste arvu antud kvantolekus

\[\bar{n}_{k} = \left\{\exp\left(\frac{\varepsilon_{k}-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}\right) + 1\right\}^{-1}\]

nimetatakse Fermi-Diraci jaotusfunktsiooniks.

Ülesanne

Näidake lähtudes Fermi-Diraci jaotusfunktsioonist, et fermionide keskmine arv \(\overline{n}_{k}\) kvantolekus \(k\) rahuldab tingimust \(0 \leq \overline{n}_{k} \leq 1\).

2.3.2. Bose-Einsteini statistika

Tegu on mitteinterakteeruvate bosonite süsteemiga, see tähendab, et kvantolekus energiaga \(\varepsilon_k\) saab olla kas suvalist arvu bosonit, \(n_k=0,1\ldots\infty\). Leiame suurt statistilist summat

\[\Xi = \prod_{k} \left[1-\exp\left(-\frac{\varepsilon_{k}-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right]^{-1},\]

ja suurt termodünaamilist potentsiaali

\[\Omega = -k_{\mathrm{B}}T\sum_{k} \mathrm{ln} \left[1-\exp\left(-\frac{\varepsilon_{k}-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right]^{-1}.\]

Analoogselt Fermi-Diraci juhuga arvutame keskmist osakeste arvu antud kvantolekus

\[\bar{n}_{k} = \left\{\exp\left(\frac{\varepsilon_{k}-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}\right) - 1\right\}^{-1},\]

mida nimetatakse ka Bose-Einsteini jaotusfunktsiooniks.

Ülesanne

  • Näidake lähtudes Bose-Einsteini jaotusfunktsioonist, et bosonite keskmine arv \(\overline{n}_{k}\) kvantolekus \(k\) rahuldab tingimust \(0 \leq \overline{n}_{k} \leq \infty\).

  • Millised tingimused peavad olema täidetud selleks, et Fermi-Diraci jaotusfunktsioon ja Bose-Einsteini jaotusfunktsioon läheksid ligikaudu üle Maxwell-Boltzmanni jaotusfunktsiooniks?

previous

2.2. Seos statistika ja termodünaamika vahel

next

2.4. Lisaülesanded