Ideaalsed kvantgaasid
Contents
2.3. Ideaalsed kvantgaasid¶
Vaatleme \(N\) ühesugusest mitteintegreeruvast osakesest koosnevat süsteemi. Osakese energia kvantolekus number \(k\) on \(\varepsilon_{k}\) ja osakeste arv selles olekus \(n_{k}\). Süsteemi koguenergia on \(\sum_{k}\varepsilon_{k}n_{k}\) ja osakeste koguarv süsteemis \(\sum_{k}n_{k}=N\).
Süsteemi kvantolekuid saab eristada olekute täitearvude \(n_{1}, n_{2}, ...\) abil. Vastavalt sellele avaldub suur statistiline summa
kus esimeses avaldises \(\sum_{\{n_{1},n_{2},...\}}\) tähendab summeerimist üle täitearvude \(n_{k}\), kusjuures arvestatakse lisatingimusega \(\sum_{k}n_{k}=N\), st need summad ei ole sõltumatud.
Seega võrdub suur termodünaamiline potentsiaal
Ülesanne
Olgu meil mitteinterakteeruvate osakeste süsteem. ühe osakese energiad kvantolekutes \(k=1, 2, \ldots \) on \(\varepsilon_{k}\) ja vastavad osakeste keskmised arvud \(\overline{n}_{k}\). Avaldage termodünaamilises tasakaalus oleva süsteemi siseenergia ja soojusmahtuvus suuruste \(\varepsilon_{k}\) ja \(\overline{n}_{k}\) kaudu.
Ühesugustest osakestest koosnevas ideaalses kvantgaasis on osakeste keskmine arv kvantolekus \(k\)
\[\overline{n}_{k} =\left[\sum\limits_{n}\exp \left(-\frac{(\varepsilon_{k}-\mu)n}{k_{B}T}\right)\right]^{-1}\sum\limits_{n}n\exp \left(-\frac{(\varepsilon_{k}-\mu)n}{k_{B}T}\right).\]Tuletage see avaldis. Tuletage siit Fermi-Diraci jaotusfunktsioon ja Bose-Einsteini jaotusfunktsioon.
2.3.1. Fermi-Diraci statistika¶
Tegu on mitteinterakteeruvate fermionide süsteemiga, see tähendab, et kvantolekus energiaga \(\varepsilon_k\) saab olla kas \(0\) või \(1\) fermion, \(n_k=0,1\). Vastavalt sellele arvutame suurt statistilist summat
ja suurt termodünaamilist potentsiaali
Keskmine osakeste arv on \(\bar{N}=-\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_{T,V}\equiv\sum_k \bar{n}_k\), kus keskmist osakeste arvu antud kvantolekus
nimetatakse Fermi-Diraci jaotusfunktsiooniks.
Ülesanne
Näidake lähtudes Fermi-Diraci jaotusfunktsioonist, et fermionide keskmine arv \(\overline{n}_{k}\) kvantolekus \(k\) rahuldab tingimust \(0 \leq \overline{n}_{k} \leq 1\).
2.3.2. Bose-Einsteini statistika¶
Tegu on mitteinterakteeruvate bosonite süsteemiga, see tähendab, et kvantolekus energiaga \(\varepsilon_k\) saab olla kas suvalist arvu bosonit, \(n_k=0,1\ldots\infty\). Leiame suurt statistilist summat
ja suurt termodünaamilist potentsiaali
Analoogselt Fermi-Diraci juhuga arvutame keskmist osakeste arvu antud kvantolekus
mida nimetatakse ka Bose-Einsteini jaotusfunktsiooniks.
Ülesanne
Näidake lähtudes Bose-Einsteini jaotusfunktsioonist, et bosonite keskmine arv \(\overline{n}_{k}\) kvantolekus \(k\) rahuldab tingimust \(0 \leq \overline{n}_{k} \leq \infty\).
Millised tingimused peavad olema täidetud selleks, et Fermi-Diraci jaotusfunktsioon ja Bose-Einsteini jaotusfunktsioon läheksid ligikaudu üle Maxwell-Boltzmanni jaotusfunktsiooniks?