Lisaülesanded
3.8. Lisaülesanded¶
Näidake, et Gaussi lähenduses kehtivad võrdused (3.2).
Olgu fluktueeruvad suurused \(a_{1}, \ldots, a_{n}\) kirjeldatud Gaussi jaotusega
\[w(a_{1}, \ldots, a_{n})=\sqrt{\frac{\mathrm{det}\left[ \beta_{ij}\right]}{(2\pi k_{\mathrm{B}})^{n}}} \exp\left[-\frac{1}{2k_{\mathrm{B}}}\sum_{i,j} \beta_{ij}(a_{i}-\overline{a}_{i})(a_{j}-\overline{a}_{j})\right] .\]Näidake, et kehtib võrdus (3.4).
Näpunäide. Tuleks rakendada integreerimismuutuja vahetust \(\Delta a_{i}=a_{i}-\bar{a}_{i}=\sum\limits_{j}u_{ij}\Delta a'_j\), kus \(\sum\limits_{i,j}\beta_{ij}u_{ik}u_{jl} = \delta_{kl}\).Olgu fluktueeruvad suurused \(a_{1}, \ldots, a_{n}\) kirjeldatud Gaussi jaotusega. Näidake, et kehtib võrdus (3.5).
Olgu fluktueeruvad suurused \(a_{1}, \ldots, a_{n}\) kirjeldatud Gaussi jaotusega. Näidake, et
\[\left\langle \exp \left(\sum\limits_{i}\gamma_{i}a_{i}\right) \right\rangle = \exp \left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{2}\sum\limits_{i,k}\gamma_{i}\gamma_{k}\tilde{\beta}_{ik}+\sum\limits_{i}\gamma_{i}\bar{a}_{i}\right) ,\]kus \(\gamma_{i}=\mathrm{const}\) ja \(\tilde{\beta}_{ik}=(\beta^{-1})_{ik}\).
Põhjendage keskväärtusi (3.8).
Isoleeritud süsteemis on tekitatud temperatuuri gradient. Entroopia kasvu kiirus avaldub \(\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = - \int\limits_{V}\frac{\nabla\mathbf{J}^{Q}}{T}\mathrm{d}V\), kus \(\mathbf{J}^{Q}\) on temperatuuri gradiendi poolt indutseeritud soojusvoo tihedus ja \(V\) on süsteemi ruumala. Näidake, et selle avaldise saab esitada ka kujul \(\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = - \int\limits_{V}\frac{\mathbf{J}^{Q}\nabla T}{T^{2}}\mathrm{d}V\).
Näidake, et dissipatsiooni poolt modifitseeritud Hamiltoni võrrandid \(\dot{p_{j}}=-\frac{\partial E_{\mathrm{pot}}}{\partial q_{j}} - T^{-1}\sum_{k}L_{p_{j}p_{k}}\dot{q_{k}}\), kus \(j=1\ldots s\) saab esitada ka kujul \(\dot{p_{j}}=-\frac{\partial E_{\mathrm{pot}}}{\partial q_{j}} - \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial\dot{q_{j}}}\), kus \(\mathcal{D}= (2T)^{-1}\sum_{j,k}L_{p_{j}p_{k}}\dot{q_{j}}\dot{q_{k}}\) on dissipatsioonifunktsioon.
Näidake, et dissipatsiooni olemasolu korral saavad Lagrange’i võrrandid kuju \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{i}} = -\frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \dot{q_{i}}}\), kus \(i=1\ldots s\).
Mehaaniline süsteemi ja keskkond moodustavad isoleeritud liitsüsteemi. Näidake, et mehaanilise süsteemi energia muutumise (kahanemise) kiirus avaldub \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(E_{\mathrm{kin}}+E_{\mathrm{pot}}\right)=-2\mathcal{D}\).
On olemas järgmised väga lihtsalt leitavad seosed termoelektrilisi nähtusi iseloomustavate karakteristikute vahel
\[\begin{split}&\tau_{2}-\tau_{1} = T\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}T}\left(\frac{\Pi_{12}}{T}\right),\qquad \mathcal{E}_{\mathrm{T}} = -\int\limits_{T_{a}}^{T_{b}}\frac{\Pi_{12}}{T}\mathrm{d}T,\\ &\mathcal{E}_{\mathrm{T}} \approx \frac{\Pi_{12}}{T}(T_{a}-T_{b}),\qquad \tau_{2}-\tau_{1} \approx \frac{T}{T_{a}-T_{b}}\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{d}T}.\end{split}\]kus indeksid 1 ja 2 tähistavad erinevaid elektrijuhte, mis on omavahel kontaktis, \(\tau_{1,2}\) on Thomsoni koefitsiendid, \(\Pi_{12}\) on Peltier’ koefitsient, \(\mathcal{E}_{\mathrm{T}}\) on termoelektromotoorjõud Seebecki efektis ja \(T_{a,b}\) on kahest juhist koosneva kinnise kontuuri ühenduskohtade temperatuurid. Leidke need seosed.
Näidake, et kehtib viimane võrdus valemis (3.27).