Lisaülesanded
4.6. Lisaülesanded¶
Tuletage Liouville’i võrrand pidevuse võrrandist \(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\mathbf{v}\rho)=0\), kus \(\rho\) on täielik jaotusfunktsioon, \(\mathbf{v}=\left(\dot{q}_{1}, \ldots , \dot{q}_{s}, \dot{p}_{1}, \ldots , \dot{p}_{s} \right)\) on \(2s\) mõõtmeline vektor ja \(\mathbf{v}\rho\) divergents faasiruumis avaldub \(\mathrm{div}(\mathbf{v}\rho)=\sum\limits_{i=1}^{s}\left[\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\dot{q}_{i}\rho \right)+\frac{\partial}{\partial p_{i}}\left(\dot{p}_{i}\rho \right)\right]\).
Näidake, et Boltzmanni kineetilise võrrandi
\[\left[\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}_{1}\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}+\mathbf{F}\left(\mathbf{q},t\right)\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_{1}}\right]f_{1}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}_{1},t\right) = I_{\mathrm{B}}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}_{1},t\right)\]vasak pool võrdub nulliga, kui üheosakeseliseks jaotusfunktsiooniks on Maxwell-Boltzmanni jaotusfunktsioon
\[f_{1}\left(\mathbf{q},\mathbf{p},t\right)=f_{1}^{0}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}\right)=\frac{1}{(2\pi m k_{\mathrm{B}}T)^{3/2}} \left\{\int\exp\left(-\frac{V^{F}(\mathbf{q})}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\mathrm{d}\mathbf{q}\right\}^{-1} \exp\left(- \, \frac{\frac{\mathbf{p}^{\,\,2}}{2m}+V^{F}(\mathbf{q})}{k_{\mathrm{B}}T}\right) ,\]kus \(V^{F}\) on osakese potentsialne energia, kui osakesele mõjub jõud \(\mathbf{F}\).
Näidake, et Boltzmanni põrkeintegraal
\[\begin{split}&I_{\mathrm{B}}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}_{1},t\right)=n\int\mathrm{d}\Omega\int\mathrm{d}\mathbf{p}_{2} \left|\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right|\sigma_{d}\left(\Omega,\left|\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right|\right) \\ &\qquad \times \left[f_{1}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}\,'_{1},t\right)f_{1}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}\,'_{2},t\right) -f_{1}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}_{1},t\right)f_{1}\left(\mathbf{q},\mathbf{p}_{2},t\right)\right]\end{split}\]võrdub nulliga, kui üheosakeseliseks jaotusfunktsiooniks on Maxwell-Boltzmanni jaotusfunktsioon.
Andke füüsikaline interpretatsioon massibilansi võrrandile \(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}(\rho \mathbf{u})=0\). Kuidas see võrrand väljendab massi jäävuse seadust?
Näpunäide. Otstarbekas on integreerida seda võrrandit üle mingi ruumala ja rakendada Gauss-Ostrogradski teoreemi.Andke füüsikaline interpretatsioon impulsibilansi võrrandile \(\frac{\partial }{\partial t}(\rho u_{i})+\frac{\partial \mathbf{\Pi}_{i}}{\partial \mathbf{q}}= \frac{\rho}{m}F_{i}\). Kuidas see võrrand väljendab impulsi jäävuse seadust?
Näpunäide. Otstarbekas on integreerida seda võrrandit üle mingi ruumala ja rakendada Gauss-Ostrogradski teoreemi.Andke füüsikaline interpretatsioon energiabilansi võrrandile \(\frac{\partial K}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{q}}= \frac{\rho}{m}\mathbf{F}\mathbf{u}\). Kuidas see võrrand väljendab energia jäävuse seadust?
Näpunäide. Otstarbekas on integreerida seda võrrandit üle mingi ruumala ja rakendada Gauss-Ostrogradski teoreemi.Näidake, et viskoossustensori jälg võrdub nulliga.
Näidake, et lokaalses tasakaalus on viskoossustensori komponendid võrdsed nulliga.
Näidake, et lokaalses tasakaalus soojusvoog puudub.
Kanoonilisele ansamblile vastav tasakaaluline jaotusfunktsioon on \(\rho^{0}(q,p)=Z^{-1}\exp \left[-\frac{\mathcal{H}(q,p)}{k_{\mathrm{B}}T}\right]\), kus \(Z\) on statistiline summa \(Z=\int\exp \left[-\frac{\mathcal{H}(q,p)}{k_{\mathrm{B}}T}\right]\mathrm{d}q\mathrm{d}p\). Integreeritakse siin üle kogu faasiruumi. Kui \(\rho = \rho^{0}\), siis Liouville’i võrrandi \(\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left\{\mathcal{H},\rho\right\}\) vasak pool võrdub nulliga \(\frac{\partial \rho^{0}}{\partial t}=0\). Kontrollige, et nulliga võrdub ka Liouville’i võrrandi parem pool \(\left\{\mathcal{H},\rho^{0}\right\} = 0\).
Tuletage võrdusest (vt ka slaid 61)
\[\begin{split}\frac{\partial}{\partial t}\left[ n\int \mathrm{d}\mathbf{p}_{1}f_{1}(\mathbf{p}_{1})\psi(\mathbf{p}_{1})\right]+\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left[n\int \mathrm{d}\mathbf{p}_{1}\mathbf{v}_{1}f_{1}(\mathbf{p}_{1})\psi(\mathbf{p}_{1})\right] \nonumber \\ -n\int \mathrm{d}\mathbf{p}_{1}f_{1}\mathbf(\mathbf{p}_{1})\frac{\mathrm{d}\psi(\mathbf{p}_{1})}{\mathrm{d}t} =nJ\left\{\psi(\mathbf{p}_{1})\right\}\end{split}\]massibilansi võrrand \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \left(\rho \mathbf{u}\right)}{\partial \mathbf{q}} = 0\)
impulsibilansi võrrandid \(\frac{\partial (\rho u_{i})}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{\Pi}_{i}}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\rho}{m}F_{i}\)
energiabilansi võrrand \(\frac{\partial K}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\rho}{m}\mathbf{F}\mathbf{u}\).