Contents

Statistiline operaator

5.1. Statistiline operaator

5.1.1. Tihedusmaatriks

Punktis Kvantmehaaniline statistiline ansambel oli juba jutt kvantmehaanilisest statistilisest ansamblist. Sissetoodud kirjeldusviis oli seal rakendatud tasakaaluseisundi kirjeldamiseks, kuid skeem kehtib ka mittetasakaaluses olukorras. Alustame siin definitsionide meeldetuletamisega.

Kui süsteem on puhtas olekus, siis selle lainefunktsion \(\Psi(q,t)\) (\(q\) on kõik süsteemi iseloomustavad koordinaadid) on täpselt teada. Kui süsteem ei ole puhtas olekus kasutame me statistilist kirjeldusviisi, kus on meil olemas süsteemi lainefunktsioon \(\Psi^{(i)}(q,t)\) puhtas olekus ja tõenäous \(W_{i}\), et realiseerub antud puhas olek \(i\). Lainefunktsioon rahuldab Schrödingeri võrrandit

\[i\hbar \frac{\partial \Psi^{(i)}(q,t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi^{(i)}(q,t),\]

kus \(\hat{H}\) on süsteemi Hamiltoni operaator.

Olgu \(\varphi_{n}(q)\) on ortonormeeritud baasifunktsioonid, mis moodustavad täieliku süsteemi. See tähendab, et saab esitada \(\Psi^{(i)}(q,t)\) baasifunktsioonide \(\varphi_{n}(q)\) lineaarkombinatsioonina

(5.1)\[\Psi^{(i)}(q,t)=\sum_{n}c^{(i)}_{n}(t)\varphi_{n}(q).\]

Toome sisse ajast sõltuva tihedusmaatriksi, mille elemendid on

\[\rho_{nm}(t)=\sum_{i}W_{i}c^{(i)\ast}_{m}(t)c^{(i)}_{n}(t) .\]

Punktis Kvantmehaaniline statistiline ansambel on näidatud, kuidas tihedusmaatriks määrab ära mingi suuruse statistilist keskväärtust.

5.1.2. Liouville’i-von Neumanni võrrand

Tuletame võrrandi, mida peab rahuldama tihedusmaatriks seoses oma ajalise sõltuvusega.

Kasutades ortonormeerimist, saab seosest (5.1) avaldada

\[c^{(i)}_{m}(t)=\int\varphi_{m}^\ast(q) \Psi^{(i)}(q,t)\mathrm{d}q. \]

Schrödingeri võrrandi abiga leiame

\[\frac{\partial c^{(i)}_{m}(t)}{\partial t}=\int\varphi_{m}^\ast(q) \frac{\partial\Psi^{(i)}(q,t)}{\partial t}\mathrm{d}q= \frac{1}{i\hbar}\int\varphi_{m}^\ast(q) \hat{H}\Psi^{(i)}(q,t)\mathrm{d}q= \frac{1}{i\hbar}\sum_n H_{mn}c_n^{(i)},\]

kus \(H_{mn}=\int \varphi_{m}^\ast(q) \hat{H}\varphi_n(q)\mathrm{d}q\) on kasutatud baasifunktsioonidel leitud Hamiltoni operaatori maatrikselement. Nende seoste põhjal arvutame tihedusmaatriksi ajalist tuletist

\[\begin{split}&\frac{\partial\rho_{nm}}{\partial t}=\sum_{i}W_{i}\frac{\partial c^{(i)\ast}_{m}(t)}{\partial t}c^{(i)}_{n}(t)+\sum_{i}W_{i}c^{(i)\ast}_{m}(t)\frac{\partial c^{(i)}_{n}(t)}{\partial t}=\\ &\qquad \frac{1}{i\hbar}\sum_{i}W_{i}\left[-\sum_k H_{mk}^\ast c_k^{(i)\ast}c^{(i)}_{n}(t)+\sum_kc^{(i)\ast}_{m}(t) H_{nk}c_k^{(i)}\right].\end{split}\]

Kasutades tihedusmaatriksi definitsiooni näeme, et tihedusmaatriksi elemendid rahuldavad Liouville’i-von Neumanni võrrandit maatrikskujul

\[i\hbar \frac{\partial \rho_{nm}}{\partial t} = \sum_{k}\left\{H_{nk}\rho_{km} - \rho_{nk}H_{km}\right\} ,\]

kus on lisaks arvestatud, et \(H^\ast_{mk}=H_{km}\) seoses Hamiltoni operaatori hermiitilisusega \(\hat{H}=\hat{H}^+\). Liouville’i-von Neumanni võrrand operaatorkujul on siis järgmine

\[i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t}=\hat{H}\hat{\rho}-\hat{\rho}\hat{H} = \left[\hat{H},\hat{\rho}\right],\]

kus \(\hat{\rho}\) on tihedusmaatriksile vastav statistiline operaator. Siin tasub meenutada, et klassikalisel juhul antud jaotusfunktsiooni liikumisvõrrand Liouville’i võrrandiga (4.2), mis on Liouville’i-von Neumanni võrrandi klassikaline analoog.

Räägime nüüd Liouville’i-von Neumanni võrrandi lahendist

  • Kui Hamiltoni operaator ei sõltu ilmutatud kujul ajast, siis avaldub Liouville’i-von Neumanni võrrandi lahend kujul

    \[\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{+}(t),\qquad \hat{U}(t)=\exp \left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t \right).\]

    Siin \(\hat{U}\) on unitaarne operaator \(\hat{U}^+\hat{U}=\hat{U}\hat{U}^+=1\).

    Ülesanne

    Eeldatakse, et süsteemi Hamiltoni operaator \(\hat{H}\) ei sõltu ilmutatud kujul ajast. Kontrollige, et sellisel juhul Liouville’i-von Neumanni võrrand on rahuldatud, kui \(\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}^{+}(t)\), kus \(\hat{U}(t)=\mathrm{exp}\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)\).

  • Kui Hamiltoni operaator sõltub ilmutatud kujul ajast, siin ja edaspidi \(\hat{H}=\hat{H}_{t}\), siis avaldub Liouville’i-von Neumanni võrrandi \(i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t}= \left[\hat{H}_{t},\hat{\rho}\right]\) lahend

    \[\hat{\rho}(t)=\hat{D}(t)\hat{\rho}(0)\hat{D}^{+}(t) ,\]

    kus unitaarne operaator \(\hat{D}(t)\) rahuldab võrrandit

    \[i\hbar \frac{\partial \hat{D}(t)}{\partial t} = \hat{H}_{t}\hat{D}(t),\qquad \hat D(0)=1.\]

Tuletame ka meelde tasakaalulise Gibbsi kanoonilise ansambli, mille korral võrdub statistiline operaator

\[\hat{\rho}=\hat{\rho}^0=Z^{-1}\mathrm{exp}\left(-\frac{\hat{H}}{k_{\mathrm{B}}T}\right),\qquad Z=\mathrm{Tr}\left[\mathrm{exp}\left(-\frac{\hat{H}}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\right].\]

Normeerimiskordajat \(Z\) nimetatakse statistiliseks summaks.

previous

5. Süsteemi koste välisele häiritusele

next

5.2. Operaatori sõltuvus ajast