Contents

Bilansi võrrandid

4.4. Bilansi võrrandid

Alustame mõnedest märkustest, mida tasub meeles pidada bilansi võrrandite tuletamisel.

Olgu \(\Phi(\mathbf{q}_\alpha,\mathbf{p}_\alpha,t)\) on osakesega nr \(\alpha\) seotud suurus (näiteks selle mass, impulsi komponent või kineetiline energia).

  • Suurusele \(\Phi\) vastav mikroskoopiline tihedus ruumipunktis \(\mathbf{q}\) ühe osakese jaoks on \(\Phi(\mathbf{q}_\alpha,\mathbf{p}_\alpha,t)\delta(\mathbf{q}-\mathbf{q}_\alpha)\), kus \(\delta\) on Dirac’i delta-funktsioon. Selle definitsiooni kohaselt võrdub mikroskoopiline tihedus nulliga, kui \(\mathbf{q}\neq\mathbf{q}_\alpha\).

  • Makroskoopilist tihedust ruumipunktis \(\mathbf{q}\) ühe osakese jaoks saame keskmistamisel üle osakese faasiruumi,

    \[V^{-1}\int \Phi(\mathbf{q}_\alpha,\mathbf{p}_\alpha,t)\delta(\mathbf{q}-\mathbf{q}_\alpha)f_1(\mathbf{q}_\alpha,\mathbf{p}_\alpha,t)\mathrm{d}\mathbf{q}_\alpha\mathrm{d}\mathbf{p}_\alpha=V^{-1}\int \Phi(\mathbf{q},\mathbf{p}_\alpha,t)f_1(\mathbf{q},\mathbf{p}_\alpha,t)\mathrm{d}\mathbf{p}_\alpha,\]

    kus kasutasime omadust \(\delta(\mathbf{r})=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\).

  • Suurusele \(\Phi\) vastav makroskoopiline tihedus ruumipunktis \(\mathbf{q}\) \(N\) osakesest koosneva süsteemi puhul on

    \[\frac{N}{V}\int \Phi(\mathbf{q},\mathbf{p}_\alpha,t)f_1(\mathbf{q},\mathbf{p}_\alpha,t)\mathrm{d}\mathbf{p}_\alpha=n\int \Phi(\mathbf{q},\mathbf{p},t)f_1(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}.\]

  • Suurusele \(\Phi\) vastav makroskoopiline voo tihedus ruumipunktis \(\mathbf{q}\) on

\[n\int \mathbf{v} \Phi(\mathbf{q},\mathbf{p},t)f_1(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}.\]

Kui siis vaadata võrrandile (4.4)

\[\frac{\partial}{\partial t}\left[ n\int \mathrm{d}\mathbf{p}_{1}f_{1}(\mathbf{p}_{1})\psi(\mathbf{p}_{1})\right]+\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left[n\int \mathrm{d}\mathbf{p}_{1}\mathbf{v}_{1}f_{1}(\mathbf{p}_{1})\psi(\mathbf{p}_{1})\right] -n\int \mathrm{d}\mathbf{p}_{1}f_{1}\mathbf(\mathbf{p}_{1})\frac{\mathrm{d}\psi(\mathbf{p}_{1})}{\mathrm{d}t} =n J\left\{\psi\right\},\]

siis on näha, et esimene liige on suurusele \(\psi\) vastava makroskoopilise tiheduse ajaline tuletis ja teine liige on suurusele \(\psi\) vastava makroskoopilise voo tiheduse divergents. Samal ajal võrdub võrrandi parem pool nulliga, kui \(\psi\) on põrkeinvariant, nagu osakese mass, impulsi komponent või kineetiline energia, vt. Boltzmanni lemma. Valides vastavad põrkeinvariandid saame kolm bilansi võrrandit.

4.4.1. Massibilansi võrrand

Olgu \(\psi=m\), siis tähistame

(4.7)\[\rho(\mathbf{q},t)=nm\int f_1(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p},\qquad \rho(\mathbf{q},t)\mathbf{u}(\mathbf{q},t)=nm\int \mathbf{v} f_1(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}\]

massi tihedusena ja massi voo tihedusena vastavalt. Paneme tähele, et massi voo tihedus on ka impulsi tihedus. Viimane seos defineerib omakorda voolamise lokaalset kiirust \(\mathbf{u}(\mathbf{q},t)\).

Võrrandist (4.4) saame siis massibilansi võrrandi ehk pidevuse võrrandi massi jaoks

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \left(\rho \mathbf{u}\right)}{\partial \mathbf{q}} = 0.\]

4.4.2. Impulsibilansi võrrandid

Olgu \(\psi=p_i\), kus \(p_i\) on osakese impulsi komponent. Tähistame

\[\mathbf{\Pi}_i(\mathbf{q},t)=nm\int v_i\mathbf{v} f_1(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}\]

impulsi komponendi voo tihedusena. Arvestades, et \(\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}=F_i\) on osakesele mõjuv välise jõu komponent, saame võrrandist (4.4) impulsibilansi võrrandit

\[\frac{\partial (\rho u_{i})}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{\Pi}_{i}}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\rho}{m}F_{i}.\]

Võrrand kujutab endast pidevuse võrrandi allikaga.

4.4.3. Energiabilansi võrrand

Olgu \(\psi=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}\). Tähistame

\[K(\mathbf{q},t)= n\frac{m}{2}\int \mathbf{v}^{2} f_{1}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p},\qquad \mathbf{g}(\mathbf{q},t)= n\frac{m}{2}\int \mathbf{v}^{2} \mathbf{v} f_{1}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}\]

kineetilise energia tihedusena ja kineetilise energia voo tihedusena vastavalt. Lähtudes jälle võrrandist (4.4) antud juhu jaoks saame energiabilansi võrrandi

\[\frac{\partial K}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\rho}{m}\mathbf{F}\mathbf{u}.\]

Struktuuri poolest on see jälle allikaga pidevuse võrrand.

previous

4.3. Boltzmanni kineetiline võrrand ja selle järeldused

next

4.5. Hüdrodünaamika võrrandid ja nende järeldused