Lisaülesanded
2.4. Lisaülesanded¶
Näidake, et statistiline keskväärtus \(\langle \hat{a} \rangle = \sum_{m}\sum_{n} a_{mn}\rho _{nm}\) on esitatav kujul \(\langle \hat{a} \rangle = \mathrm{Tr}\left(\hat{a}\hat{\rho}\right)\).
Kirjeldame süsteemi kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi entroopia saab esitada kujul \(S=-k_{\mathrm{B}}\sum_{n}W_{n}\mathrm{ln}W_{n}\) ja ka kujul \(S=k_{\mathrm{B}}\mathrm{ln}Z+\frac{U}{T}\).
Kirjeldame süsteemi suure kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi siseenergia avaldub kujul \(U=\sum_{N}\sum_{n}W_{n}(N)E_{n}(N)\).
Kirjeldame süsteemi suure kanoonilise ansambliga. Näidake, et süsteemi suur termodünaamiline potentsiaal avaldub kujul \(\Omega=-k_{\mathrm{B}}T\mathrm{ln}\Xi\).
Tuletage Fermi-Diraci jaotusfunktsioon (st fermionide keskmine arv \(\overline{n}_{k}\) kvantolekus \(k\)) seosest \(\sum_{k} \overline{n}_{k} = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_{T,V}\), kus \(\Omega\) on mitteinterakteeruvate fermionide suur termodünaamiline potentsiaal.
Tuletage Bose-Einsteini jaotusfunktsioon (st bosonite keskmine arv \(\overline{n}_{k}\) kvantolekus \(k\)) seosest \(\sum_{k} \overline{n}_{k} = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_{T,V}\), kus \(\Omega\) on mitteinterakteeruvate bosonite suur termodünaamiline potentsiaal.