Contents

Hüdrodünaamika võrrandid ja nende järeldused

4.5. Hüdrodünaamika võrrandid ja nende järeldused

4.5.1. Hüdrodünaamika põhivõrrandid

Hüdrodünaamilises etapis saame kirjeldada süsteemi üheosakeselise jaotusfunktsiooni abil leitud keskväärtustest. Lähtekohaks on siin bilansi võrrandid (vt Bilansi võrrandid)

(4.8)\[\begin{split}&\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_i\frac{\partial }{\partial q_i}\left(\rho u_i\right) = 0,\\ &\frac{\partial }{\partial t}(\rho u_{i}) + \sum_j\frac{\partial \Pi_{ij}}{\partial q_j}=\frac{\rho}{m}F_{i},\\ &\frac{\partial K}{\partial t} + \sum_i\frac{\partial g_i}{\partial q_i}=\frac{\rho}{m}\sum_iF_iu_i,\end{split}\]

kus \(i,j\) on komponendi indeksid ja \((\Pi_{ij})\) on impulsi voo tiheduse tensor.

Me tahame nüüd üle minna suurustule, mis on otstarbekamad hüdrodünaalise etapi kirjeldamiseks. Massibilansi võrrand jääb samaks ning esimest võrrandit seostest (4.8) nimetataksegi I hüdrodünaamika põhivõrrandiks

Teiste hüdrodünaamika võrrandite tuletamiseks toome sisse tähistus

\[\delta \mathbf{v}=\mathbf{v}-\mathbf{u},\]

mis on puhtalt kaootilise soojusliikumisega seotud osakese kiiruse osa. See võimaldab impulsi voo tiheduse tensori esitada kujul

\[\Pi_{ij}=nm\int v_{i} v_{j} f_{1}\mathrm{d}\mathbf{p}= \rho u_{i}u_{j} + P_{ij}, \qquad P_{ij} = nm\int \delta v_{i} \delta v_{j} f_{1}\mathrm{d}\mathbf{p}.\]

Siin kasutasime me lokaalse voolamise kiiruse \(u_i\) definitsiooni (4.7), mis annab \(\int \delta v_i f_1\mathrm{d}\mathbf{p}=0\). Tensorit komponentidega \(\Pi_{ij}\) nimetatakse ka pingetensoriks ja tensorit komponentidega \(P_{ij}\) - sisepinge tensoriks.

Defineerime nüüd lokaalse rõhu ja temperatuuri seosega (sama analoogia järgi, mida kasutasime lokaalse tasakaalu temperatuuri (4.6) sissetoomisel)

\[n\frac{m}{2}\int \left(\delta \mathbf{v}\right)^{2} f_{1}\mathrm{d}\mathbf{p} = \frac{3}{2}\nu(\mathbf{q},t) k_{\mathrm{B}}T(\mathbf{q},t)= \frac{3}{2} \frac{\rho(\mathbf{q},t)}{m} k_{\mathrm{B}}T(\mathbf{q},t) = \frac{3}{2}p(\mathbf{q},t).\]

Siin on integraal ilmselt puhtalt kaootilise liikumisega seotud kineetilise energia tihedus. Nende seoste konstrueerimisel on kasutatud analoogia tasakaaluliste seosega \(\langle\frac{m\mathbf{v}^2}{2}\rangle=\frac{3}{2}k_{\mathrm{B}}T\) ja ideaalse gaasi oleku võrrandiga \(p=nk_\mathrm{B}T\).

On näha, et tensoris \(P_{ij}\) on peidetud lokaalne rõhk, seega sisepinge tensor esitatakse kahe osana

\[P_{ij} = p \delta_{ij} - \pi_{ij}.\]

Tensorit komponentidega \(\pi_{ij}\) nimetatakse viskoossustensoriks. Viskoossustensor on sümmeetriline ja tema jälg võrdub nulliga

\[\pi_{ij} = \pi_{ji}, \qquad \sum_{i} \pi_{ii} = 0 .\]

Modifitseerime nüüd impuslibilansi võrrandit (4.8) kasutades \(\Pi_{ij}=\rho u_{i}u_{j}+p \delta_{ij} - \pi_{ij}\). Me saame

(4.9)\[\frac{\partial (\rho u_{i})}{\partial t} + \sum_{j} \frac{\partial \left( \rho u_{i}u_{j}\right)}{\partial q_{j}}=\frac{\rho}{m}F_{i} + \sum_{j} \frac{\partial }{\partial q_{j}} \left(\pi_{ij} - p \delta_{ij}\right) .\]

Neid võrrandeid (\(i=x,y,z\)) nimetatakse II, III ja IV hüdrodünaamika põhivõrranditeks. Võrranditele saab anda alternatiivne kuju

\[\rho\frac{\partial u_{i}}{\partial t} + \sum_{j} \rho u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\rho}{m}F_{i} + \sum_{j} \frac{\partial }{\partial q_{j}} \left(\pi_{ij} - p \delta_{ij}\right) .\]

Ülesanne

Näidake, et hüdrodünaamika põhivõrrandi (4.9) saab esitada ka kujul
\(\qquad\rho\frac{\partial u_{i}}{\partial t} + \sum\limits_{j}\rho u_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial q_{j}}= \frac{\rho}{m}F_{i} + \sum\limits_{j}\frac{\partial }{\partial q_{j}}(\pi_{ij}-p\delta_{ij})\).

Neid võrrandeid saab tõlgendada, kui Newtoni teist seadust gaasi ruumalaühiku jaoks. Tõepoolest integreerime üle ruumala

\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int_V \rho u_{i}\mathrm{d}V + \oint_f\sum_{j} \rho u_{i}u_{j}\mathrm{d}f_j=\int_V\frac{\rho}{m}F_{i}\mathrm{d}V + \oint_f\sum_{j} \left(\pi_{ij} - p \delta_{ij}\right)\mathrm{d}f_j,\]

kus on jälle kasutatud Gauss-Ostrogradski teoreem ning \(f\) on ruumala \(V\) ümbritsev pind ja \(\mathrm{d}\mathbf{f}=\mathbf{n}df\), kus \(\mathbf{n}\) on pinnanormaali ühikvektor. Näeme, et

  • esimene liige on gaasi impulsi komponendi muutumise kiirus ruumalas \(V\)

  • teine liige on impulsi komponendi voog läbi pinna \(f\)

  • paremal poolel seisab kõikide jõudude summa, mis mõjuvad gaasile ruumalas \(V\)

    • selles summas vastab esimine liige välisele jõule

    • summas teine liige kirjeldab pindjõude

Viimase hüdrodünaamika võrrandi saamiseks viimasest seosest (4.8) teisendame kõigepealt kineetilise energia tiheduse sisestades \(\delta \mathbf{v}=\mathbf{v}-\mathbf{u}\)

\[K(\mathbf{q},t)= n\frac{m}{2}\int \mathbf{v}^{2} f_{1}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}=\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T.\]

Näeme, et esimene liige on seotud suunatud liikumisega ja teine on puhtalt kaootilise liikumisega. Seega tuleb interpreteerida teist liiget gaasi siseenergia tihedusena.

Teisendame ka kineetilise energia voo tiheduse komponendid

\[\begin{split}&g_i= n\frac{m}{2}\int \mathbf{v}^{2} v_i f_{1}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\mathrm{d}\mathbf{p}=\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) u_{i} + \sum_{j}\left( p \delta_{ij} - \pi_{ij}\right)u_{j} + L_{i},\\ &L_{i}= n\frac{m}{2}\int \delta v_{i} \left(\delta \mathbf{v}\right)^{2} f_{1}\mathrm{d}\mathbf{p}.\end{split}\]

Siin on tekkinud vektor \(\mathbf{L}\) puhtalt osakeste kaootilise liikumisega seotud makroskoopilise energia voo tiheduse komponent.

Energiabilansi võrrandi alusel jõuame siis V hüdrodünaamika põhivõrrandidni

(4.10)\[\begin{split}&\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) + \sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left[\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) u_{i}\right] \nonumber \\ &= \frac{\rho}{m} \sum_{i} F_{i}u_{i} + \sum_{i,j} \frac{\partial }{\partial q_{i}} \left[\left(\pi_{ij} - p \delta_{ij}\right)u_{j}\right] - \sum_{i}\frac{\partial L_{i}}{\partial q_{i}} .\end{split}\]

Võrrandi interpreteerimiseks integreerime üle ruumala ja kasutame Gauss-Ostrogradski teoreemi

\[\begin{split}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int_V\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right)\mathrm{d}V + \oint_f\sum_{i}\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) u_{i}\mathrm{d}f_i\\ &= \int_V\frac{\rho}{m} \sum_{i} F_{i}u_{i}\mathrm{d}V + \oint\sum_{i,j} \left(\pi_{ij} - p \delta_{ij}\right)u_{j}\mathrm{d}f_i - \oint_f\sum_{i} L_{i}\mathrm{d}f_i .\end{split}\]

Näeme, et

  • Esimene panus on gaasi energia muutumise kiirus ruumalas \(V\), mis moodustub kahest osast: kineetilise energia tihedusest seoses gaasi suunatud liikumisega (voolamisega) ja gaasi siseenergia tihedusest

  • Teine panus on sama energia voog läbi pinna \(f\)

  • Parema poole esimene panus on välise jõu töö ajaühikus (võimsus) ruumalas \(V\)

  • Parema poole teine liige on analoogselt pindjõudude töö ajaühikus

  • Seoses viimase liikmega võib gaasi energia muutuda isegi siis, kui puudub väline jõud ja gaas ei voola. Samal ajal on definitsiooni kohaselt \(\mathbf{L}\) puhtalt osakeste kaootilise liikumisega seotud energia voo tihedus. Ilmselt tuleb \(\mathbf{L}\) interpreteerida kui soojusvoo tihedus.

Seega muutub gaasi energia mingis ruumalas seoses energia vooga ja soojusvooga läbi ruumala ümbritseva pinna ning seoses välise jõudude ja pindjõudude tööga.

Olime tuletanud siis kõik viis hüdrodünaamika põhivõrrandit. Nendes võrrandites on 13 otsitavat suurust: \(\rho\), kolm vektori \(\mathbf{u}\) kompomenti, \(p\) või \(T\), viis tensori \(\pi_{ij}\) sõltumatut komponenti ja kolm vektori \(\mathbf{L}\) komponenti.

Kuna otsitavate suuruste arv (13) ületab võrrandite arvu (5), siis ei moodusta hüdrodünaamika põhivõrrandid kinnist süsteemi. Ainult erijuhul, kui süsteem on lokaalses tasakaalus, langeb võrrandite ja otsitavate suuruste arv kokku. Sõltumatute otsitavate suuruste arvu saab vähendada ka sel viisil, kui tuua sisse teatud fenomenoloogilised seosed otsitavate suuruste vahel.

4.5.2. Hüdrodünaamika põhivõrrandid lokaalses tasakaalus

Olgu meil süsteem lokaalses tasakaalus, vt Lokaalne tasakaal. See tähendab, et jaotusfunktsioon võrdub lokaalse Maxwelli jaotusega, \(f_1=\bar{f}_1\). Saab veenduda, et sel juhul

\[\pi_{ij}=0,\qquad L_{i}=0 .\]

Selle tulemusena väheneb otsitavate suuruste arv hüdrodünaamika põhivõrrandites viiele: \(\rho\), kolm vektori \(\mathbf{u}\) kompomenti ja \(p\) või \(T\). Nende leidmiseks saame üles kirjutada neli esimest hüdrodünaamika põhivõrrandit kujul

\[\begin{split}&\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \left(\rho \mathbf{u}\right)}{\partial \mathbf{q}} = 0,\\ &\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left(\mathbf{u}\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\right)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \mathbf{q}} + \frac{\mathbf{F}}{m}.\end{split}\]

Viimast seost nimetatakse ka Euleri võrrandiks ehk mitteviskoosse gaasi voolamise võrrandiks.

Teisendame ka V hüdrodünaamika põhivõrrandit (4.10), mis näeb lokaalses tasakaalus välja kujul

\[\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{u}^{2}) + \frac{3}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) + \sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left[\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) u_{i}\right] = \frac{\rho}{m} \sum_{i} F_{i}u_{i} - \sum_{i,j} \frac{\partial }{\partial q_{i}} p \delta_{ij}u_{j}.\]

Kasutame edasi järgmised asendused

  • \(\frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{u}^{2})=\sum_iu_i\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_i)+\sum_i\rho u_i\frac{\partial u_i}{\partial t}\)

  • \(\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T=p\)

  • \(\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}(\rho \mathbf{u}^{2}u_i)=\sum_{ij}u_j\frac{\partial}{\partial q_{i}}(\rho u_ju_i)+\sum_{ij}\rho u_ju_i\frac{\partial u_j}{\partial q_{i}}\)

Nende abiga on võrrandil kuju

\[\begin{split}&\frac{1}{2}\sum_iu_i\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_i)+\frac{1}{2}\sum_{ij}u_j\frac{\partial}{\partial q_{i}}(\rho u_ju_i)+ \frac{1}{2}\sum_i\rho u_i\frac{\partial u_i}{\partial t} +\frac{1}{2}\sum_{ij}\rho u_ju_i\frac{\partial u_j}{\partial q_{i}} + \frac{3}{2}\frac{\partial p}{\partial t} +\\ &\frac{5}{2}\sum_{i}u_i\frac{\partial p}{\partial q_{i}}+\frac{5}{2}\sum_{i}p\frac{\partial u_i}{\partial q_{i}} = \frac{\rho}{m} \sum_{i} F_{i}u_{i}.\end{split}\]

Siin kujutavad endast kaks esimest liiget võrrandi (4.9) (kus \(\pi_{ij}=0\)) vasakut poolt, kolmas ja neljas liige on sisuliselt Euleri võrrandi vasak pool. Kasutades seda saame

\[\frac{\partial p}{\partial t} + \mathbf{u}\frac{\partial p}{\partial \mathbf{q}} + \frac{5}{3}p\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{q}} = 0 .\]

See ongi viimane otsitav hüdrodünaamika põhivõrrand lokaalses tasakaalus.

4.5.3. Fenomenoloogilised seosed hüdrodünaamikas

Enne olime kasutanud lokaalse tasakaalu oletus selleks, et hüdrodünaamika põhivõrrandid moodistaksid kinnise süsteemi. Teine võimalus saada kinniseid võrrandeid siesneb selles, et me täiendame hüdrodünaamika põhivõrrandeid teatud fenomenoloogiliste seostega otsitavate suuruste vahel. Arutame neid seoseid detailsemalt.

4.5.3.1. Difusioonivõrrand

I hüdrodünaamika põhivõrrandi \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i} \frac{\partial \left(\rho u_{i}\right)}{\partial q_{i}} = 0\) saab muuta kinniseks kasutades Ficki seadust

\[\rho u_{i}=-D\frac{\partial \rho}{\partial q_{i}} ,\]

kus \(D\) on difusioonitegur. Siit saadakse difusioonivõrrand

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} = \sum_{i} \frac{\partial }{\partial q_{i}}\left(D\frac{\partial \rho}{\partial q_{i}}\right)\]

\(\rho\) leidmiseks. Kui \(D=\mathrm{const}\), siis saab difusioonivõrrand kuju

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} \rho}{\partial \mathbf{q}^{2}} .\]

4.5.3.3. Soojusjuhtivuse võrrand

Lähtume V hüdrodünaamika põhivõrrandist

\[\begin{split}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) + \sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{1}{2}\rho \mathbf{u}^{2} + \frac{3}{2}\frac{\rho}{m}k_{\mathrm{B}}T\right) u_{i} \nonumber \\ = \frac{\rho}{m} \sum_{i} F_{i}u_{i} + \sum_{i,j} \frac{\partial }{\partial q_{j}} \left(\pi_{ij} - p \delta_{ij}\right)u_{j} - \sum_{i}\frac{\partial L_{i}}{\partial q_{i}} .\end{split}\]

Erijuhul, kui süsteem on isotroopne \(\rho = \mathrm{const}\) ja voolamine puudub \(\mathbf{u}=0\) lihtsustub see võrrand oluliselt, saades kuju

\[\frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{2m}{3\rho k_{\mathrm{ B}}} \frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{q}} ,\]

kus otsitavateks suurusteks on \(T\) ja vektori \(\mathbf{L}\) komponendid. Kasutatades Fourier seadust saadakse siit kinnine soojusjuhtivuse võrrand

\[\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^{2} T}{\partial \mathbf{q}^{2}}\]

temperatuuri leidmiseks, kus \(\lambda = \frac{2m\kappa}{3\rho k_{\mathrm{ B}}}\) ja on eeldatud, et \(\kappa = \mathrm{const}\). Struktuuri poolest langeb soojusjuhtivuse võrrand kokku difusioonivõrrandiga.

previous

4.4. Bilansi võrrandid

next

4.6. Lisaülesanded