Contents

Lineaarsete mittetasakaaluliste protsesside näited

3.6. Lineaarsete mittetasakaaluliste protsesside näited

3.6.1. Soojusjuhtivus

Olgu termiliselt isoleeritud süsteemis tekitatud temperatuuri gradient \(\nabla T \neq 0\). Temperaruuri gradiendi tõttu ei ole süsteem tervikuna termodünaamilises tasakaalus, kuid me oletame, et lokaalne termodünaamiline tasakaal on siiski olemas ning süsteem on välja viidud täielikust termodünaamilisest takasaalust kvaasistatsionaarse fluktuatsiooni abil.

Eeldame täiendavalt, et temperatuuri gradient hoitakse ajas konstantsena \(\nabla T = \)const. Sellisel juhul on tegu statsionaarse mittetasakaalulise protsessiga, kus seoses ääretingimustega süsteem ei saa minna tasakaaluolekusse.

Süsteemi entroopia muutuse kiirus avaldub

\[\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\int\limits_{V}\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}\mathrm{d}V,\]

kus \(\mathcal{S}\) on entroopia tihedus ja \(V\) on süsteemi ruumala. Termodünaamilises tasakaalus kehtib meil termodünaamika teine seadus \(dS=\delta Q/T\), kus \(\delta Q\) on süsteemile antav või süsteemilt võetav soojushulk. Lokaalses termodünaamilises tasakaalus kehtib analoogne seos ning

\[\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}=\frac{1}{T}\frac{\partial q}{\partial t},\]

kus \(q\) on soojusenergia ruumiline tihedus vaadeldavas ruumipunktis ja tempreratuur on lokaalne \(T=T(\mathbf{r})\).

Soojusenergia jaoks peab kehtima pidevuse võrrand

(3.19)\[\frac{\partial q}{\partial t}+\mathrm{div}\mathbf{J}^{Q}=\sigma^Q,\]

kus \(\mathbf{J}^{Q}\) on soojusvoo tihedus ja \(\sigma^Q\) on soojusallikate intensiivsus. Me eeldame, et soojusallikad puuduvad \(\sigma^Q=0\).

Seega entroopia muutuse kiiruse jaoks saame

\[\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\int\limits_{V} \frac{\mathrm{div}\mathbf{J}^{Q}}{T}\mathrm{d}V= -\int\limits_{V}\frac{\mathbf{J}^{Q}\nabla T}{T^{2}}\mathrm{d}V.\]

Lisaks kehtib soojusjuhtivuse jaoks fenomenoloogiline Fourier’ seadus, mis isotroopses keskkonnas on kujuga

\[\mathbf{J}^{Q} = - \gamma \nabla T,\]

kus \(\gamma\) on soojusjuhtivustegur.

Teiselt poolt kehtivad üldised seosed

(3.20)\[\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} = - \int\limits_{V}\sum_{i}X_{i}I_{i}\mathrm{d}V,\qquad I_{i}= - \sum_{k} L_{ik} X_{k}.\]

Võrdlus annab võimalust sisse tuua termodünaamilisi jõudusid, voogusid ja kineetilisi koefitsiente vaadeldava olukorra jaoks

\[\mathbf{X} = \left(X_{1},X_{2},X_{3}\right) = \frac{\nabla T}{T^{2}},\qquad \mathbf{I} = \left(I_{1},I_{2},I_{3}\right) = \mathbf{J}^{Q},\qquad L_{ik} = T^{2}\gamma \delta_{ik} .\]

See valik ei ole unikaalne.

Ülesanne

Isoleeritud süsteemis on tekitatud temperatuuri gradient. Kuidas peab soojusvoo tiheduse vektor olema orienteeritud temperatuuri gradiendi suhtes, et oleks tagatud entroopia allika intensiivsuse positiivsus?

Anisotroopses keskkonnas on Fourier’ seadusel kuju

\[J^{Q}_{i} = - \sum_{k} \gamma_{ik} (\nabla T)_{k},\]

kus \(\gamma_{ik}\) on soojusjuhtivustensori komponendid. Seega saame üldistust

\[L_{ik} = T^{2}\gamma_{ik}.\]

Onsageri teoreemist järeldub, et \(L_{ik}=L_{ki}\), seega soojusjuhtivustensor peab olema sümmeetriline \(\gamma_{ik} = \gamma _{ki}\).

3.6.2. Statsionaarse voolu termodünaamika

Vaatleme jälle termiliselt isoleeritud süüsteemi, kus on tekitatud elektrostaatilise välja potentsiaali gradient \(\nabla \varphi \neq 0\), mida hoitakse ajas konstantsena. Selles olukorras moodustavad juhtivuselektronid elektrilist voolu, et \(\nabla \varphi\) vähendada. Kuna \(\nabla \varphi\) hoitakse muutumatuks, siis kulgeb statsionaarne vool. Taas on tegemist statsionaarse mittetasakaalulise protsessiga.

Nagu eelmises peatükis avaldub entroopia kasvu kiirus

\[\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \int\limits_{V}\frac{1}{T}\frac{\partial q}{\partial t}\mathrm{d}V,\]

ning kehtib (3.19). Kuid antud juhul saab jätta soojusvoog arvestamata, \(\mathbf{J}^Q=0\) (puuduvad temperatuuri gradiendid). Soojusallikate intensiivsuseks on statsionaarse voolu korral Joule’i soojus \(\sigma^Q=\mathbf{j}\mathbf{E}\). Seega

(3.21)\[\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \int\limits_{V}\frac{\mathbf{j}\mathbf{E}}{T}\mathrm{d}V ,\]

kus \(\mathbf{j}\) on voolutihedus ja \(\mathbf{E}=-\nabla \varphi\) on elektrivälja tugevus. Samal ajal kirjeldab elektrivoolu diferentsiaalne Ohmi seadus

\[j_{i}=\sum_{k}\sigma^{c}_{ik}E_{k} ,\]

kus \(\sigma^{c}_{ik}\) on juhtivustensori komponendid ja keskkond võib olla anisotroopne.

Nüüd me võrdleme seda üldiste seostega (3.20) ja saame termodünaamiliste jõudude ja voogude jaoks

\[\mathbf{X}=-\frac{\mathbf{E}}{T},\qquad \mathbf{I}=\mathbf{j},\qquad L_{ik} = T\sigma^{c}_{ik} .\]

Onsageri teoreemist järeldub, et \(\sigma^{c}_{ik} = \sigma^{c}_{ki}\). Saab ka näidata, et juhtivustensori diagonaalelemendid on positiivsed \(\sigma^{c}_{ii}>0\), ehk isotroopse juhu korral \(\mathbf{jE}=\sigma^cE^2>0\). Valemi (3.21) kohaselt on see kooskõlas entroopia kasvuga \(\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}>0\) nagu termodünaamika nõuabki.

Ülesanne

Isoleeritud juhtiva süsteemi juhtivustensor komponentidega \(\sigma^{c}_{ij}\) on viidud diagonaalkujule \((\sigma^{c}_{ij})=\left( \begin{array}{ccc} \sigma^{c}_{xx} & 0 & 0 \\0 & \sigma^{c}_{yy} & 0\\0 & 0 & \sigma^{c}_{zz}\end{array} \right)\). Seda saab alati teha, sest juhtivustensor on sümmeetriline tensor. Voolutiheduse vektori ja elektrivälja tugevuse vektori komponentide vahelised seosed on nüüd \(j_{x}= \sigma^{c}_{xx}E_{x}\), \(j_{y}= \sigma^{c}_{yy}E_{y}\) ja \(j_{z}= \sigma^{c}_{zz}E_{z}\). Näidake, et entroopia allika intensiivsuse positiivsuse nõudest järeldub \(\sigma^{c}_{xx} > 0\), \(\sigma^{c}_{yy} > 0\) ja \(\sigma^{c}_{zz} > 0\).
Näpunäide. Tuleks avaldada entroopia allika intensiivsus termodünaamiliste jõudude ruutvormina.

3.6.3. Halli efekt

Vaatleme statsionaarset voolu välises magnetväljas. Kehtib diferentsiaalne Ohmi seadus

\[j_{i}=\sum_{k}\sigma^{c}_{ik}(\mathbf{H})E_{k},\]

kus seoses magnetvälja olemasoluga tekib sõltuvus magnetvälja tugevusest \(\sigma^{c}_{ik}=\sigma^{c}_{ik}(\mathbf{H})\). Onsageri teoreemi kohaselt

(3.22)\[\sigma^{c}_{ik}(\mathbf{H}) = \sigma^{c}_{ki}(-\mathbf{H}).\]

Jagame juhtivustensori sümmeetriliseks \(s_{ik}=s_{ik}(\mathbf{H})\) ja antisümmeetriliseks \(a_{ik}=a_{ik}(\mathbf{H})\) osadeks, \(\sigma^{c}_{ik}(\mathbf{H})=s_{ik}(\mathbf{H})+a_{ik}(\mathbf{H})\), kus

\[s_{ik}=\frac{1}{2}(\sigma^{c}_{ik}+\sigma^{c}_{ki}),\qquad a_{ik}=\frac{1}{2}(\sigma^{c}_{ik}-\sigma^{c}_{ki}).\]

Seosest (3.22) järeldub, et juhtivtensori sümmeetriline osa on magnetvälja tugevuse paaris, ja antisümmeetriline osa paaritufunktsioon

(3.23)\[s_{ik}(\mathbf{H})=s_{ik}(-\mathbf{H}),\qquad a_{ik}(\mathbf{H})=-a_{ik}(-\mathbf{H}).\]

On teada, et igale teist järku antisümmeetrilisele tensorile \((a_{ik})\) saab panna vastavusse vektori \(\mathbf{a}\) komponentidega \(\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)\) nii, et

\[\begin{split}(a_{ik})=\left(\begin{array}{aaa}0&a_z&-a_y\\-a_z&0&a_x\\a_y&-a_x&0\end{array}\right)\end{split}\]

Nüüd saame diferentsiaalse Ohmi seaduse kirja panna kujul

\[j_{i}=\sum_{k}s_{ik}E_{k}+\sum_{k}a_{ik}E_{k}=\sum_{k}s_{ik}E_{k}+(\mathbf{E}\times\mathbf{a})_i\]

Järgmiseks sammuks eeldame, et magnetväli on nõrk. Tänu sümmeetriale (3.23), saame kõige madalamas lähenduses \(s_{ik}(\mathbf{H})\approx s_{ik}(0)\) ja \(a_{i}(\mathbf{H})\approx \sum_k\alpha_{ik}H_k\), kus \(\alpha_{ik}\) on keskkonda iseloomustav tensor. Olgu süsteem isotroopne, siis \(s_{ik}(0)=\sigma^c\delta_{ik}\), kus \(\sigma^c\) on juhtivus magnetvälja puudumisel, ja \(\alpha_{ik}=\alpha_H\delta_{ik}\). Isotroopse süsteemi korral saame lineaarses lähenduses magnetvälja tugevuse järgi

\[\mathbf{j}=\sigma^{c}\mathbf{E}+\alpha_{H}(\mathbf{E}\times \mathbf{H}) ,\]

kus \(\alpha_{H}\) on keskkonda iseloomustav koefitsient. On näha, et kui vooluga elektrijuht on välises magnetväljas, siis tekib seal täiendav vool, mille suund on risti nii esialgse elektrivälja kui ka magnetvälja suunaga.

Avaldame ka elektrivälja tugevust

(3.24)\[\mathbf{E}=\frac{\mathbf{j}}{\sigma^{c}}-\frac{\alpha_{H}}{\sigma^{c}}(\mathbf{E}\times \mathbf{H})\approx \frac{\mathbf{j}}{\sigma^{c}}+R_H(\mathbf{j}\times \mathbf{H}),\]

kus \(R_H=-\alpha_{H}/(\sigma^{c})^2\) nimetatakse Halli koefitsiendiks. On näha, et kui vooluga elektrijuht on välises magnetväljas, siis tekib seal täiendav elektriväli, mille suund on risti nii esialgse voolu kui ka magnetvälja suunaga.

Nii täiendava voolu, kui ka täiendava elektrivälja olemasolu seoses vooluga magnetväljas tuntakse kui Halli effekti (avastatud E. Halli poolt 1879. aastal). Tavaliselt seletatakse seda Lorentzi jõuga \(\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{H})\). Siin olime aga selleni jõudnud lähtudes Onsageri teoreemist.

previous

3.5. Lineaarsed mittetasakaalulised protsessid

next

3.7. Termoelektrilised ja termogalvanomagnetilised nähtused